空間向量知識點總結
向量空間的定義
向量空間(或線性空間)是指同時滿足以下條件的數學結構：
集合V內有兩個特殊的元素：零向量0和其他被稱為向量的元素。
V內的任意兩個向量都可以作加法運算，得到一個新的向量。
V內的任意一個向量都可以和任意一個數(稱為標量)作乘法運算，得到一個新的向量。
向量空間的基本性質
加法封閉性：向量空間中任意兩個向量相加,結果仍在該空間內。
數乘封閉性：向量空間中任意一個向量與一個標量相乘,結果仍在該空間內。
結合律、交換律和分配律。
有限維向量空間的基
如果一個向量空間擁有一個元素個數有限的生成集，那么就稱該向量空間是有限維空間?？梢陨梢粋€向量空間 V 的線性獨立子集，稱為這個空間的基。對于非零向量空間 V，基是“最小”的生成集。向量空間的基是對向量空間的一種刻畫。
向量間的線性相關與線性無關
設有向量集合{v_1,v_2,...,v_n}，若存在一組不全為 0 的常數k_1,k_2,...,k_n，使得k_1v_1+k_2v_2+...+k_nv_n=0，則稱向量集合是線性相關的，否則稱它是線性無關的。當向量集合線性無關時，任意新增一個向量后都會使得向量集合變成線性相關的。
線性子空間
設有向量空間V，若U是V的一個非空子集，并且當任意兩個向量u,v∈U和任意標量k∈R (R為實數集)時，都有ku+v∈U ,則稱U是V的一個線性子空間。
基變換和坐標向量
給定一個向量空間V及其有限維子空間W，設B={b_1,b_2,...,b_m}是W的一個基，對V中任意一個向量v，都可唯一地表示為v=c_1b_1+c_2b_2+...+c_mb_m，則(c_1,c_2,...,c_m)稱為向量v在基B下的坐標向量，B與另一個基B'之間的變換稱為基變換。
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